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第十章 回归分析

发布时间:2019-07-22 03:07 来源:未知 编辑:admin

  第十章 回归分析_数学_自然科学_专业资料。第十章 回归分析 第一节 回归分析的概述 第二节 参数估计 第三节 假设检验 第四节 预测与控制 第五节 非线性回归的线性化处理 第一节 回归分析的概述 一个过程中多个变量之间的关系分为两类: ?

  第十章 回归分析 第一节 回归分析的概述 第二节 参数估计 第三节 假设检验 第四节 预测与控制 第五节 非线性回归的线性化处理 第一节 回归分析的概述 一个过程中多个变量之间的关系分为两类: ?确定性关系,也就是通常所说的函数关系; ?非确定性关系,即所谓的相关关系。 确定性关系是指当一些变量的值确定以后另一些变 量的值也随之完全确定的关系。 相关关系是指变量之间有一定的依赖关系,但当一 些变量的值确定以后,另一些变量的值虽随之变化 却并不能完全确定,这时变量间的关系不能精确地 用函数来表示。 上一页 下一页 返回 回归分析(regression analysis)是数理统计中研究一个 响应变量与若干个预报变量之间相关关系的一种有效方 法;其中只有一个预报变量的回归分析称为一元回归分 析,多于一个预报变量的回归分析称为多元回归分析。 回归分析的任务主要有三个: (1) 给出建立具有相关关系的变量之间的数学关系式 (通常称为经验公式)的一般方法; (2) 判别所建立的经验公式是否有效;判别哪些预报 变量对响应变量的影响是显著的,哪些是不显著的; (3)利用所得到的经验公式进行预测和控制。 上一页 下一页 返回 一元回归分析与最小二乘法 取定x时随机变量y的数学期望E(yx)作为x时随机变量 y的估计值,即 显然,当x变化时E(YX=x)是x的函数,记作 可以用一个确定的函数关系式 大致地描述y与x之间的相关关系。 函数 称为y关于x的回归函数,简称回归; 称为y关于x的回归方程。 上一页 下一页 返回 回归方程反映了y的数学期望E(y)随x的变化而变化的 规律性。y与x的相关关系表示为 是随机误差,它是均值为零的随机变量, 通常假定 是不依赖于X的未知参数。 的大小在一定程度上反映了在x处随机变量y 的观测值的大小,如能找到 ,就能在一定条件下 解决如下两个问题:1.在给定的置信度下,估计当 x取某一定值时y的取值情况,这就是所谓的预测问 题;2.在给定的置信度下,控制X的取值范围以使y 在给定的范围内取值,这就是所谓的控制问题。 上一页 下一页 返回 通常先限制 为某一类型的函数。函数 的类型 可以由与被研究问题的本质有关的物理假设来确定; 若没有任何理由可以确定函数 的类型,则只能根 据在试验结果中得到的散点图来确定。 在确定了函数 的类型后,就可以设 其中a1, a2…… ak为未知参数。 寻找合适的回归函数 的问题就归结为:如何根 据试验数据合理地选择参数a1, a2…… ak的估计值 上一页 下一页 返回 这些估计值使得方程 在一定的 意义下“最佳地”表现变量Y与X之间的相关关系。 选取 中参数,使得观测值yi与相应 的函数值 (i=1,2……n)的偏差平方 和为最小,这就是所谓的最小二乘法。 最小二乘法的概率意义:设当可控变量X取任意实数x 时,随机变量Y服从正态分布 ,即Y的概 率密度为 其中 数。 ,而 是不依赖于x的常 上一页 下一页 返回 在n次独立试验中得到观测值(x1,y1),(x2,y2),… (xn,yn),利用极大似然估计法估计未知参数a1, a2,… ak,时,有似然函数 似然函数L取得极大值,上式指数中的平方和 取最小值。 即为了使观测值(xi , yi)(i=1,2,…,n)出现的可能性最大, 应当选择参数a1,a2,…,ak,使得观测值yi与相应的函数值 的偏差平方和最小。这就是最小二乘 法 的概率意义。 上一页 下一页 返回 分别求S对a1,a2,……ak的偏导数,并令它们等于零, 就得到 解方程组求出参数a1,a2,……ak的估计值(这样求出的 参数a1,a2,……ak的估计,称为最小二乘估计(least squares estimation ,简称LSE)),再求回归方程的估计 式(称为经验回归方程)。 上一页 下一页 返回 第二节 参数估计 1、一元线性回归 考虑回归函数 是线性函数,即 所谓的一元线性回归分析。回归方程为 ,这就是 回归方程为 方程的图形称为回归直线。 x,y的相关关系可表示为 其中a, b, ?2为不依赖于x的未知参数,上式称为一元 线性回归模型,简称一元线性模型。当y与x间满足这 种关系时,y与x间有线性相关关系。 上一页 下一页 返回 用最小二乘法确定未知参数a及b。考虑试验点关于回 归直线的偏差平方和 分别求Q对a及b的偏导数, 令它们等于零,得方程组 上一页 下一页 返回 线性回归方程为 亦可表示为 称为经验回归系数(也称回归系数),对应的直线 称为经验回归直线(简称回归直线)。 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 例1 Pearson测量了10对父子的身高,所得数据如下 (单位:英寸) 父 亲 60 62 身高 64 66 67 68 70 72 74 儿 子 63.6 65.2 66 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 身高 求儿子身高y关于父亲身高x的回归方程。 上一页 下一页 返回 可知,当父亲身高高于或低于父代身高的平均值时, 儿子的身高有向子代的平均身高靠近的趋势,这就是 “回归”。 上一页 下一页 返回 2、多元线性回归 上一页 下一页 返回 正规方程 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 第三节 假设检验 当且仅当b≠0时,变量Y与X之间存在线性相关关系, 为了检验Y与X之间的线性相关的显著性,应当检验 原假设 H0:b=0是否成立。 若拒绝H0,则认为Y与X之间存在线性关系,所求得 得线性回归方程有意义;若接受H0,则认为Y与X得 关系不能用一元线性回归模型来表示,所求得的线性 回归方程无意义。 上一页 下一页 返回 1、方差分析法(F检验法) 考察样本y1,y2,……yn的偏差平方和,或称总平方和 剩余平方和,反映了观测值偏离 回归直线的程度,这种偏离是由 于观测误差等随机因素引起的。 上一页 下一页 返回 回归平方和它反映回归值的分散度,这种分散是 由于Y与X之间得线性相关关系引起的; 统计量 上一页 下一页 返回 例1 在上例中,利用方差分析检验儿子的身高Y与父 亲身高X之间的线性相关关系是否显著。 上一页 下一页 返回 方差 来源 回归 剩余 总计 平方 自由度 F值 和 37.035 1 198.313 1.494 8 38.529 9 临界值 显著 性 F0.01(1,8)=11.26 ** 因为FF0.01(1,8),所以儿子的身高Y与父亲的身高X 之间的线性相关关系特别显著。 上一页 下一页 返回 2. 相关系数检验法(r检验法) 考察相关系数r的大小: ?若相关系数r的绝对值很小,则表明y与x之间的线性 相关关系不显著,或者根据不存在线性相关关系 ?若相关系数r的绝对值较大(接近于1)时,才表明y与 x之间的线性相关关系显著 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 r检验法的步骤和法则为: 由试验数据计算出相关系数r的值并与临界值比较. 上一页 下一页 返回 3、 t 检验法 上一页 下一页 返回 第四节 预测与控制 1、预测 x与y之间的关系不是确定的,所以对于任意 给定x0, 不可能精确地知道相应值y0。将x=x0 代入 线的估计值(回归值) 对y0进行区间估计,即给定的置信度1-? ,求出y0 的置信区间(称为预测区间),这就是所谓的预测 问题。 上一页 下一页 返回 y0的置信水平为1-?的预测区间为 上一页 下一页 返回 y0的置信水平为1-?的预测区间近似为 上一页 下一页 返回 例如,置信度为95%预测区间是 置信度为99%预测区间是 若在回归直线 的上下两侧分别作与回归直线平行的直线 及 则可以预料,在所有可能出现 的试验点(xi,yi)(i=1,2,…,n) 中,大约有95%的点在这两条 直线之间的带型区域内。 上一页 下一页 返回 例1: 在上例中,若父亲身高为70英寸,求其儿子的 身高的置信度为95%的预测区间。 解 :已经求得线时,有 已经计算得Q剩=1.494, 所求得置信度为95%的预测区间是 (68.499-1.96×0.432,68.499+1.96×0.432) 即(67.656,69.346)英寸 上一页 下一页 返回 2、控制 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 第五节 非线性回归的线性化处理 对于复杂的非线性回归问题,一般采用变量代换法将 非线性模型线性化,在按照线性回归方法进行处理. 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 例1: 在彩色显象中,根据以往的经验知道,形成染料光学 密度y与析出银的光学密度x之间有下面类型的关系式: 现对y 及x同时作11次观察,测得试验数据如下 xi yi xi yi xi yi 0.05 0.10 0.14 0.59 0.38 1.19 0.06 0.14 0.20 0.79 0.43 1.25 0.07 0.23 0.25 1.00 0.47 1.29 0.10 0.37 0.31 1.12 求y关于x的回归方程. 上一页 下一页 返回 解: 这是非线性回归问题。由已知的经验公式 两边取对数,得 作变量替换 并设a=lnA, 则有 (ui,vi)(i=1,2,…,11)的数据如下表 上一页 下一页 返回 由此计算 计算样本相关系数 查附录表10得,当n-2=11-2=9时, 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回

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