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线性方程组及解法

发布时间:2019-06-08 00:41 来源:未知 编辑:admin

  今之线性方程组解法在中国古代称为“方程”。清末翻译西方代数学著作,将“equation”译成“方程”或“方程式”;1934年,数学名词委员会确定用“方程(式)”表示equation,而用“线性方程组”表示中国古代的“方程”;1956年科学出版社出版的《数学名词》确定“方程”表示equation,最终改变了中国传统数学术语“方程”的含义。

  中国古代“方”的本义是并,“程”是求其标准,故“方程”的本义是“并而程之”,即把诸物之间的各数量关系并列起来,考核其度量标准。公元3世纪刘徽注“方程”说:“群物总杂,各列有数,总言其实。令每行为率,二物者再程,三物者三程,皆如物数程之。并列为行,故谓之方程。”《九章算术》方程章提出的方程术是一种普遍解法,只是囿于当时的表达方式,不得不借助于禾实展开。11世纪初贾宪在《黄帝九章算经细草》中才提出抽象的解法。

  若以x,y,z分别表示《九章算术》第1问中上、中、下禾各一秉的实的斗数,得到线性方程组:

  ,随后用直除法消元求解。所谓直除法就是整行与整行对减。此处方程的建立及消元变换采用位值制,每个数字不必标出它是什么物品的系数,而是用所在的位置表示,与现代数学中分离系数法一致。《九章算术》方程的表示,相当于列出其增广矩阵,消元过程相当于矩阵变换。例如第1问中的消元求解过程相当于今增广矩阵变换:

  在求出一个未知数的答案后,采用从该行的实中减去已求出的未知数的相应值的方法求剩余的未知数,相当于现今代入法。公元3世纪刘徽《九章算术注》以齐同原理证明了直除法的正确性。刘徽创造了互乘相消法,与今之方法相同。不过这种方法七八百年间未被重视,直到11世纪初贾宪才将其与直除法并用。南宋秦九韶《数书九章》(1247年)才废止直除法,完全使用互乘相消法。

  《九章算术》方程章有的问题所给数量关系不是标准的方程,需要损益术将其化成方程。“损之曰益”是说关系式一端损某量,相当于另一端益同一量。在直除法消元时,或通过損益建立的方程中,都可能出现负数。《九章算术》因此提出了正负术,即正负数加减法则,与今天的方法无异。尽管正负数乘除法则在元代朱世杰的《算学启蒙》中才给出,但实际上《九章算术》已经使用了正负数乘除法。

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